在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

我们来计算阶乘 n! = 1 * 2 * 3 * ... * n，用函数 fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n = 
(n-1)! * n = fact(n-1) * n

所以，fact(n)可以表示为 n * fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。

任务

汉诺塔 (http://baike.baidu.com/view/191666.htm) 的移动也可以看做是递归函数。

我们对柱子编号为a, b, c，将所有圆盘从a移到c可以描述为：

如果a只有一个圆盘，可以直接移动到c；

如果a有N个圆盘，可以看成a有1个圆盘（底盘） + (N-1)个圆盘，首先需要把 (N-1) 个圆盘移动到 b，然后，将 a的最后一个圆盘移动到c，再将b的(N-1)个圆盘移动到c。

请编写一个函数，给定输入 n, a, b, c，打印出移动的步骤：

move(n, a, b, c)

例如，输入 move(2, 'A', 'B', 'C')，打印出：

A --> B
A --> C
B --> C

函数 move(n, a, b, c) 的定义是将 n 个圆盘从 a 借助 b 移动到 c。

参考代码:

def move(n, a, b, c):
    if n ==1:
        print a, '-->', c
        return
    move(n-1, a, c, b)
    print a, '-->', c
    move(n-1, b, a, c)
move(4, 'A', 'B', 'C')

站出来。

要写代码完成这个任务，我们可以先数一数这个 list，发现它包含3个元素，因此，最后一个元素的索引是2：

>>> print L[2]
Bart

有没有更简单的方法？

有！

Bart同学是最后一名，俗称倒数第一，所以，我们可以用 -1 这个索引来表示最后一个元素：

>>> print L[-1]
Bart

Bart同学表示躺枪。

类似的，倒数第二用 -2 表示，倒数第三用 -3 表示，倒数第四用 -4 表示：

>>> print L[-2]
Lisa
>>> print L[-3]
Adam

由于list是一个有序集合，所以，我们可以用一个list按分数从高到低表示出班里的3个同学：

>>> L = ['Adam', 'Lisa', 'Bart']

那我们如何从list中获取指定第 N 名的同学呢？方法是通过索引来获取list中的指定元素。

需要特别注意的是，索引从 0 开始，也就是说，第一个元素的索引是0，第二个元素的索引是1，以此类推。

因此，要打印第一名同学的名字，用 L[0]:

>>> print L[0]
Adam

要打印第二名同学的名字，用 L[1]:

>>> print L[1]
Lisa

要打印第三名同学的名字，用 L[2]:

>>> print L[2]
Bart

要打印第四名同学的名字，用 L[3]:

>>> print L[3]
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
IndexError: list index out of range

报错了！IndexError意思就是索引超出了范围，因为上面的list只有3个元素，有效的索引是 0，1，2。

所以，使用索引时，千万注意不要越界。

Python内置的一种数据类型是列表：list。list是一种有序的集合，可以随时添加和删除其中的元素。

比如，列出班里所有同学的名字，就可以用一个list表示：

>>> ['Michael', 'Bob', 'Tracy']
['Michael', 'Bob', 'Tracy']

list是数学意义上的有序集合，也就是说，list中的元素是按照顺序排列的。

构造list非常简单，按照上面的代码，直接用 [ ] 把list的所有元素都括起来，就是一个list对象。通常，我们会把list赋值给一个变量，这样，就可以通过变量来引用list：

>>> classmates = ['Michael', 'Bob', 'Tracy']
>>> classmates # 打印classmates变量的内容
['Michael', 'Bob', 'Tracy']

由于Python是动态语言，所以list中包含的元素并不要求都必须是同一种数据类型，我们完全可以在list中包含各种数据：

>>> L = ['Michael', 100, True]

一个元素也没有的list，就是空list：

>>> empty_list = []

函数可以返回多个值吗？答案是肯定的。

比如在游戏中经常需要从一个点移动到另一个点，给出坐标、位移和角度，就可以计算出新的坐标：

# math包提供了sin()和 cos()函数，我们先用import引用它：

import math
def move(x, y, step, angle):
    nx = x + step * math.cos(angle)
    ny = y - step * math.sin(angle)
    return nx, ny

这样我们就可以同时获得返回值：

>>> x, y = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print x, y
151.961524227 70.0

但其实这只是一种假象，Python函数返回的仍然是单一值：

>>> r = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print r
(151.96152422706632, 70.0)

用print打印返回结果，原来返回值是一个tuple！

但是，在语法上，返回一个tuple可以省略括号，而多个变量可以同时接收一个tuple，按位置赋给对应的值，所以，Python的函数返回多值其实就是返回一个tuple，但写起来更方便。

sum = 0
x = 1
n = 1
while True:
    sum=sum+x
    x=x*2
    n=n+1
    if n>20:
    break
print sum

哪里出错了

在Python中，定义一个函数要使用 def 语句，依次写出函数名、括号、括号中的参数和冒号:，然后，在缩进块中编写函数体，函数的返回值用 return 语句返回。

我们以自定义一个求绝对值的 my_abs 函数为例：

def my_abs(x):
    if x >= 0:
        return x    
    else:
        return -x

请注意，函数体内部的语句在执行时，一旦执行到return时，函数就执行完毕，并将结果返回。因此，函数内部通过条件判断和循环可以实现非常复杂的逻辑。

如果没有return语句，函数执行完毕后也会返回结果，只是结果为 None。

return None可以简写为return。

Python内置了很多有用的函数，我们可以直接调用。

要调用一个函数，需要知道函数的名称和参数，比如求绝对值的函数 abs，它接收一个参数。

可以直接从Python的官方网站查看文档：
http://docs.python.org/2/library/functions.html#abs

也可以在交互式命令行通过 help(abs) 查看abs函数的帮助信息。

调用 abs 函数：

>>> abs(100)
100
>>> abs(-20)
20
>>> abs(12.34)
12.34

调用函数的时候，如果传入的参数数量不对，会报TypeError的错误，并且Python会明确地告诉你：abs()有且仅有1个参数，但给出了两个。

如果传入的参数数量是对的，但参数类型不能被函数所接受，也会报TypeError的错误，并且给出错误信息：str是错误的参数类型。

而比较函数 cmp(x, y) 就需要两个参数，如果 x<y，返回 -1，如果 x==y，返回 0，如果 x>y，返回 1：

>>> cmp(1, 2)
-1
>>> cmp(2, 1)
1
>>> cmp(3, 3)
0

Python内置的常用函数还包括数据类型转换函数，比如   int()函数可以把其他数据类型转换为整数：

>>> int('123')
123
>>> int(12.34)
12

str()函数把其他类型转换成 str：

>>> str(123)
'123'
>>> str(1.23)
'1.23'

我们已经了解了Python支持布尔类型的数据，布尔类型只有True和False两种值，但是布尔类型有以下几种运算：

与运算：只有两个布尔值都为 True 时，计算结果才为 True。

True and True   # ==> True
True and False   # ==> False
False and True   # ==> False
False and False   # ==> False

或运算：只要有一个布尔值为 True，计算结果就是 True。

True or True   # ==> True
True or False   # ==> True
False or True   # ==> True
False or False   # ==> False

非运算：把True变为False，或者把False变为True：

not True   # ==> False
not False   # ==> True

布尔运算在计算机中用来做条件判断，根据计算结果为True或者False，计算机可以自动执行不同的后续代码。

在Python中，布尔类型还可以与其他数据类型做 and、or和not运算，请看下面的代码：

a = True
print a and 'a=T' or 'a=F'

计算结果不是布尔类型，而是字符串 'a=T'，这是为什么呢？

因为Python把0、空字符串''和None看成 False，其他数值和非空字符串都看成 True，所以：

True and 'a=T' 计算结果是 'a=T'
继续计算 'a=T' or 'a=F' 计算结果还是 'a=T'

要解释上述结果，又涉及到 and 和 or 运算的一条重要法则：短路计算。

1. 在计算 a and b 时，如果 a 是 False，则根据与运算法则，整个结果必定为 False，因此返回 a；如果 a 是 True，则整个计算结果必定取决与 b，因此返回 b。

2. 在计算 a or b 时，如果 a 是 True，则根据或运算法则，整个计算结果必定为 True，因此返回 a；如果 a 是 False，则整个计算结果必定取决于 b，因此返回 b。

所以Python解释器在做布尔运算时，只要能提前确定计算结果，它就不会往后算了，直接返回结果。

注意: 集合是指包含一组元素的数据结构，我们已经介绍的包括：
1. 有序集合：list，tuple，str和unicode；
2. 无序集合：set
3. 无序集合并且具有 key-value 对：dict

我们知道圆的面积计算公式为：

S = πr²

当我们知道半径r的值时，就可以根据公式计算出面积。假设我们需要计算3个不同大小的圆的面积，每次写3.14 * x * x不仅很麻烦，而且，如果要把3.14改成3.14159265359的时候，得全部替换。

有了函数，我们就不再每次写s = 3.14 * x * x，而是写成更有意义的函数调用 s = area_of_circle(x)，而函数 area_of_circle 本身只需要写一次，就可以多次调用。

抽象是数学中非常常见的概念。举个例子：

计算数列的和，比如：1 + 2 + 3 + ... + 100，写起来十分不方便，于是数学家发明了求和符号∑。

这种抽象记法非常强大，因为我们看到∑就可以理解成求和，而不是还原成低级的加法运算。而且，这种抽象记法是可扩展的。

可见，借助抽象，我们才能不关心底层的具体计算过程，而直接在更高的层次上思考问题。

写计算机程序也是一样，函数就是最基本的一种代码抽象的方式。

Python不但能非常灵活地定义函数，而且本身内置了很多有用的函数，可以直接调用。

L[0:3]表示，从索引0开始取，直到索引3为止，但不包括索引3

print L[4::5][-10:]

连续切片。从四开始，每隔五个数取一个，然后再倒叙取出后十个数。

int()函数的第二个参数是转换进制，如果不传，默认是十进制 (base=10)，如果传了，就用传入的参数。

遇到逗号“,”会输出一个空